Ne serait-ce que pour faire les changements d'adresse auprès de l'employeur au Luxembourg et des administrations luxembourgeoises (Impôts, sécurité sociale, ...), un certificat de domicile établi par la mairie de résidence sera demandé. Ce dernier est obtenu base d'un certificat de résidence émis par le fournisseur d'électricité / gaz.
Pour information, en cas de contrôle routier ou par la douane française, le véhicule (si ce n'est pas un véhicule de société) doit être immatriculé en France avec une carte grise et immatriculation à jour. Ces derniers ne peuvent être obtenu qu'après avoir importé le véhicule au niveau administratif. J'ai été frontalier en Belgique en ramenant mon véhicule de France, c'est le même cirque: déclaration à la douane, passage d'un certificat de conformité (remplacé depuis par certificat de conformité européen, assurance du véhicule et émission de la carte grise). A défaut, le conducteur est passible d'une amende. C'est aussi valable pour un simple déménagement en France si l'adresse n'est plus à jour sur la carte grise 3 mois après le déménagement.
Pour les frontaliers de nationalité européenne (mais pas française), il doit aussi y avoir des papiers à faire en termes de carte de séjour (séjour de + de 3 mois) et éventuellement transcription du permis de conduire. Idem, quand j'étais frontalier en Belgique, en tant que français, j'avais un titre de séjour permanent de 5 ans en Belgique. Ne pas oublier cette formalité, il arrive un jour où on doit faire renouveler ses papiers d'identité, c'est important d'être en règle ce jour là. Dans le cas contraire, le consulat du pays d'origine refuse les demandes.